حل کار درکلاس صفحه 75 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 75 ریاضی دهم - بخش ۱ سلام! این نمودار جریانی، خلاصه‌ی مهم‌ترین مفهوم در حل معادلات درجه دوم است: **تشخیص تعداد جواب‌های حقیقی** با استفاده از **دلتا ($\\Delta$)** یا همان **مُیَّز**. ### **قوانین دلتا (مُیَّز)** برای معادله‌ی درجه دوم $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$، دلتا برابر است با $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$. 1. **اگر $\mathbf{\Delta > 0}$ (دلتا مثبت):** رادیکال $\sqrt{\Delta}$ عددی حقیقی و مثبت است. بنابراین، در فرمول $\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$، دو مقدار متفاوت به دست می‌آید. * **پاسخ:** $\Delta > 0 \Rightarrow \mathbf{\text{معادله دو ریشه‌ی حقیقی متمایز دارد.}}$ 2. **اگر $\mathbf{\Delta = 0}$ (دلتا صفر):** رادیکال $\sqrt{\Delta}$ صفر است. بنابراین، فرمول به $\mathbf{x = \frac{-b}{2a}}$ تبدیل می‌شود که تنها یک مقدار را نتیجه می‌دهد. * **پاسخ:** $\Delta = \mathbf{0} \Rightarrow \text{معادله یک ریشه‌ی حقیقی مضاعف دارد.}$ 3. **اگر $\mathbf{\Delta < 0}$ (دلتا منفی):** رادیکال $\sqrt{\Delta}$ یک عدد حقیقی نیست. بنابراین، امکان محاسبه‌ی جواب‌های حقیقی وجود ندارد. * **پاسخ:** $\Delta < 0 \Rightarrow \mathbf{\text{معادله ریشه‌ی حقیقی ندارد.}}$ | شرط دلتا | نتیجه (تعداد ریشه‌های حقیقی) | | :---: | :---: | | $\mathbf{\Delta > 0}$ | $\mathbf{\text{معادله دو ریشه‌ی حقیقی متمایز دارد.}}$ | | $\mathbf{\Delta = 0}$ | $\mathbf{x = \frac{-b}{2a}}$ (معادله یک ریشه‌ی حقیقی مضاعف دارد) | | $\mathbf{\Delta < 0}$ | $\mathbf{\text{معادله ریشه‌ی حقیقی ندارد.}}$ |

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 75 ریاضی دهم - بخش ۲ ما از **فرمول کلی حل معادلات درجه دوم** استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}} \quad \text{که در آن} \quad \mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$$ ### **الف) $\mathbf{x^2 - x + 1 = 0}$** **گام ۱: تعیین ضرایب** * $a = 1$، $b = -1$، $c = 1$ **گام ۲: محاسبه دلتا ($elta$)** $$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = \mathbf{-3}$$ **گام ۳: نتیجه‌گیری** * چون $\Delta = -3$، **منفی** است ($elta < 0$). $$\mathbf{\text{معادله ریشه‌ی حقیقی ندارد.}}$$ --- ### **ب) $\mathbf{-2x^2 + x + 3 = 0}$** **گام ۱: تعیین ضرایب** * $a = -2$، $b = 1$، $c = 3$ **گام ۲: محاسبه دلتا ($elta$)** $$\Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(-2)(3) = 1 - (-24) = 1 + 24 = \mathbf{25}$$ **گام ۳: محاسبه ریشه‌ها** * چون $\Delta = 25 > 0$ است، دو ریشه‌ی حقیقی داریم: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm 5}{-4}$$ 1. **ریشه‌ی اول:** $$x_1 = \frac{-1 + 5}{-4} = \frac{4}{-4} = \mathbf{-1}$$ 2. **ریشه‌ی دوم:** $$x_2 = \frac{-1 - 5}{-4} = \frac{-6}{-4} = \frac{3}{2} = \mathbf{1.5}$$ $$\text{جواب‌ها: } x = -1 \text{ و } x = \frac{3}{2}$$ --- ### **پ) $\mathbf{-x^2 + 4x - 4 = 0}$** **گام ۱: تعیین ضرایب** * $a = -1$، $b = 4$، $c = -4$ **گام ۲: محاسبه دلتا ($elta$)** $$\Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = \mathbf{0}$$ **گام ۳: محاسبه ریشه** * چون $\Delta = 0$ است، معادله یک ریشه‌ی مضاعف دارد: $$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2(-1)} = \frac{-4}{-2} = \mathbf{2}$$ $$\text{جواب: } x = 2 \text{ (ریشه‌ی مضاعف)}$$ **نکته:** این معادله را می‌توان با اتحاد مربع کامل نیز حل کرد: $$-x^2 + 4x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2$$